【谜题新知】这是一道让人畅想无限的逻辑题

windshear翔:
7:33 说 “空集的后继是0”，这里是不是不太对，集合论里一般用空集表示序数0吧，空集的后继是1。 8:24 同理，“用它（空集）的后继0来表示它” 这句有问题，空集的后继不是0。另外这里使用的画竖线符号我从来没有见过，up主是想用它表示什么意思？这个符号有什么出处吗（ 7:19 说 “只需要把数字5的后继当做真实数量”，同理这个是不是也不太对劲，不能用最大的数的后继代表真实数量。首先计数量应该用基数而不是序数；其次哪怕是想表示数箱子的序型，也不能用最大数的后继（比如无穷情况就会没有最大的数），而应该说所有箱子的数组成的集合，例如6是0-5组成的集合 12:40 的这个序数叠加游戏也有点奇怪。小火箭冲冲冲的过程看起来是取运算的不动点，但是到CK序数这一步是通过把所有递归序数并起来得到的，是不是不能用取不动点的办法得到。小火箭最后冲过的这个省略号冲得太多了（

【回复】回复 @嗜_谜 :写法的问题倒无所谓，但后计数有个错误，你可以在前面讲ø的后继是0（因为大家只是对0的定义不同)，但跟着这条定义带到后面的序数时，我们知道在后继集中 任何元素 A的后继为A∪{A}，空集后继为ø∪{ø}={ø}，根据视频中定义了0为ø的后继 这里可以得知0={ø} 以及后面所有的序数应为1={ø,0}, 2={ø,0,1}….w={ø,0,1,2,3……}。而视频最后的写法（0=ø）反而与正规后继集的定义相同 就是定义0为空集，这里就出现了问题 0不是空集的后继了。我知道这里只是用来引导用了，但视频里还是要明确一下0和空集的关系，因为这是关于0的两个截然不同的定义，我第一看时就总感觉哪不对劲，大家很容易误导。
【回复】回复 @嗜_谜 :我悟了，原来是surreal numbers，我之前没听说过。这本书很有趣，多谢up推荐[脱单doge]
【回复】回复 @嗜_谜 :我还是搞不懂如果说定义空集的后继是0的话，其实就是将空集变成了原本的0，那后面的序数的代表式都要往后移一位 且都会包含空集作为元素（因为所有序数都是传递集 0包含空集），而且我集合论课本里序数的定义其实不加那个竖杠也是正确的。
Minepig233:
由所有序数组成的“集合”，实际上并不是一个集合。因为按照序数的定义，每一个序数都是由比它小的所有序数组成的集合，因此假如存在一个由所有序数组成的集合，那么这个集合本身将成为一个比其所包含的所有序数都要更大的序数，这与它是“所有序数的集合”矛盾。故这样的集合不存在。 数学家把这种看起来像集合但不是集合的东西叫做真类（proper class），真类和集合合称为类（class），类包含的元素只能是集合。这样子可以规避掉诸如罗素悖论之类的东西。（在这个体系中“所有不包含自身的集合组成的集合”将不再是一个集合，而是一个真类，因而不需要考虑它属不属于自身的问题）

【回复】回复 @脑洞创意 : 是的，所以不会有一个包含所有序数的集合，因为这个集合也会是良序集。 而且良序很重要，我觉得基数和序数就是因此分离的。
【回复】回复 @Minepig233 :序数相比于基数多了“顺序”这一属性，顺序的定义依赖于子集的包含关系。
【回复】实际上是每一个序数对应于一个良序集，自然数集也是一个良序集，它对应的序数就是ω。再把ω放入自然数集中，它比任意自然数都大，因此在排序时要放在所有自然数的后面，这个新的集合依然是良序集，它对应的序数就是ω+1。
雀留仙:
这基于两个都是理智人，而理智人相当稀有

【回复】我觉得不是人，以及其他任何生命形式，而是既定程序，且语言定义、逻辑系统、思维路径之类的完全相同的两个程序，且不包括规则以外任何变量以及可能。所以难度高不是基于两个都是自认为完全理解问题的理智人，而是两个都是基本完全相同的人（既定程序，且语言定义、逻辑系统、思维路径之类的完全相同的两个生物或程序）（或是对对方完全理解，且有场外确定的主导关系），唯一区别仅仅是问题规则分配给双方的立场不同（或是同上已有完整、全面的理解，且早已确定的主导关系，且关系不变）
【回复】所以玩智斗游戏的时候才需要至少2理智人。[脱单doge]否则傻子克高手
【回复】回复 @次爵 :是的，所有还是理论上、没有普世的系统，但确实是存在的，起码我自己这就有在研究，一个可以不断详尽、完善的系统，有足够协调变动能力的系统，自古就存在，我自己的呢是在八字命理的五行十神系统中理解启发过来的，也没什么迷信的部分，就五行十神的部分非常有意思和严谨、层次丰富、关系密切，抽象（推演）能力也得到了巨大提升。（b站搜索命理社会学可以找到，封面就是这五个字，最早或者比较早是叫荀爽的一个up做的相关内容，之后有余力整理其实我也想做一个）
脑洞创意:
序数的一个重要应用就是表示函数增长的快慢，这里的函数增长快慢不是指导数。著名的葛立恒函数在FGH下的增长率仅仅只有ω+1，九头蛇Hydra函数的FGH增长率为ε₀，TREE函数的FGH增长率约为φ(ω@ω)，SCG函数则在BO以上，D5函数对应的PTO(Z₋ω)则超过了现有的所有序数表示法的极限，但仍然是递归序数。忙碌海狸函数以及更强大的不可计算函数的增长率则要用非递归序数表示。

【回复】回复 @学且时习之 :不需要，TREE(3)只是一个有限的数，它甚至小于ω，而φ(ω@ω)是比ω大的多的超限序数。
【回复】回复 @学且时习之 :4，虽然tree的FGH增长率有ψ(Ω^Ω^ω)，TREE也差别不大是ψ(Ω^(Ω^ω×ω))，但是TREE(3)的FGH序数已经超过tree的增长率了，也就是tree无论怎么嵌套（不使用能独自达到TREE(3)的构造方法），都不会达到TREE(3)
【回复】回复 @学且时习之 :TREE(3)≠tree(3)这年头怎么连会辨认大小写的人都这么难找了
永恒追光:
我发现我关注的数学up最后好像都互相认识（

【回复】说不定这就是数学语言互通的结果[doge]
1l2z3k:
配音变温和了[哦呼]质量也是一如既往的高[星星眼]好看不火[笑哭]三连了[惊喜]

【回复】用了AI配音，所以有些地方可能有点怪[吃瓜]
【回复】回复 @嗜_谜 :AI的重音可能会有点怪[doge] 没办法，因为同样一句话在不同的位置重音会导致不同的含义。比如经典的“喜欢上一个人”[doge]：最开始，我喜欢上一个人；后来，我喜欢上一个人；再然后，我喜欢上一个人；最后，我喜欢上一个人[doge]
wither203:
等一下，第二题的图形好像是个分形啊，在0和1之间有无数个“不知道”循环，那么c的制止就没有意义了，c会无限制止下去，至少还要有一个人D，制止c的无限制止，说“c就算再制止下去，你们三个也永远不会得到答案” 这样就相当于ab在分形的最小分支上跳动，c的制止可以使他们换一个分支，而D再让三人从更大的方向上跳动。 以0和1/4这个无限循环为例子，它们正在逼近1/2，而1/2和5/8在逼近3/4，这些小循环是无限逼近1 06:15

【回复】c不是说了嘛，咱仨这么循环永远没有结果，这句话就起到了你提到的d的作用
【回复】回复 @周--阿呆-_-- : ok，误读了
LYYBIBI:
非常厉害，对数学问题的具象化是我一直以来追求的目标。另外，在解说哈姆金斯那道题时，up最后的推导是完全用动画进行的，没有旁白，这就是所谓的“此时无声胜有声”吧！给我的教学也起了很大的启发。

HarlThis:
11:09 严格来说“加ω次一”是一个逻辑上不通的定义，极限序数在定义上给出了以下蕴含关系: γ为极限序数，则α＜γ蕴含α+1＜γ 具体情况可以参考用紧致性定理得到非标准自然数——在元理论中向包含标准算术的原模型中加入一个新常元c和无限条形如c＞n的公式，就能得到一个大于所有标准自然数的新自然数c，这个c依然＜原系统中的ω

1048576_:
捉虫 13：29 把 aleph1 和 2^N 搞混是老问题了

992自行车:
答案是omega^3，“你们这样永远没用”代表一个omega，“我一直说“你们这样永远没用”也永远没用”代表有omega个上一层的omega，而这样的omega^2步操作，在数轴上才刚刚从0走到1，于是还有omega个上述的omega^2，不过这次不能一下子走到尽头了，最后这个omega，在C选好n时，就被确定为了一个确定的正整数n-1。故这个游戏蕴含一个omega^3。

Doff豆腐泥:
好题，偷去做解密地图考考朋友了[doge]

Rays破晓:
“我没有拿到0，不知道你有没有拿到0”“我也没有拿到0且我也没有拿到1/4，不知道你有没有拿到1/4”“我没有拿到1/4，不知道你有没有拿到3/6”“我也没有拿到3/6，不知道你有没有拿到…”

【回复】“你拿到0你就知道你是最小”“你拿到1/4你就知道你是最小”“你拿到3/6就知道你是最小”………………
危险哆啦:
有一个容易被忽略的关键线索，是这两个数字一定是不一样大的。此外，双方都是从小到大猜，因此先知道的那个人一定是知道自己的更小 第一题中，最后A能确定B比自己大，所以A是4或5(A＝5时，也能知道B一定比自己大，因为不能相等)，但是如果B≥6，则B就无法确定A的具体数值是4还是5，因此B一定自己就是5，从而知道了A是4。否则，如果B≥6，就会说“我知道了，但不知A具体是多少” 第二题中，三个变量对最终数字大小的影响，简单概括如下： 1：n大的数，一定更大 2：n一样时，k更大的一定更大 3：n和k都一样时，r大的更大 证明：由于这个多项式的三个部分(n，-1/2^k，-1/2^(k+r))都是单调递增的，因此只需要比较前两条规则的临界值情况。 假设两个数的n是1和2， 则后者的最小值是k＝1，r＝0，即后者结果最小值为1 前者最大值是k和r趋向正无穷时的极限，2的正无穷大次方为正无穷大，倒数为0，因此前者结果的最大值为1，但注意，这是极限的计算结果，实际k和r是永远无法达到的。因此结论是前者一定小于1。 因此结论1得证。 结论2：假设n＝1，k分别为1和2 则后者最小值为r＝0时，最终结果为1-1/2^2-1/2^2＝1/2 前者最大值为r趋向正无穷时，多项式第三项结果为0(同上)，最终最大值为1-1/2^1-0＝1/2。但是，同样的这也是极限值，实际无法达到。因此前者一定小于后者。

【回复】据此，重看第二题里三人的对话， 首先，要把结果分成以下几种情况： (看不懂的话，建议画个图) n和k都确定后，改变r可以有无穷种情况，结果类似第一题，可表示为一条射线。(有一个端点，另一段无限延长的直线想象数轴的正半轴) k不确定时，改变k又有无穷种情况，且k能够直接影响最终结果。(这是一条新的射线，并且将这条无限长的射线分成无限个长度为1的小段，每个小段都代表了第一条中的一种可能的射线。) 最后，n不确定时，改变n又有无穷种情况，且n也能直接影响最终结果。(这是第三条射线，并且将这条无限长的射线也分成无限个长度为1的小段，每个小段都代表了第二条中的一种可能的射线。) 从最小的数字开始，如果有人在n＝1，k＝1的范围内，两人都在的话，可以找出结果(和第一题类似，但不确定能不能知道对方的具体值。得看是否相邻)。只有一人在的话，这个人也能知道结果(对方一定比自己大，但这种情况下双方都不知道对方的具体值)。 但是，裁判员的C却说，这样下去是永远找不到的，也就是说单纯假设n＝1，k＝1，只是不断改变r的值是找不到结果的。因此，两人的数字至少是n＝1，k＝2 但是，两人重复不知道后，C再次重申这样是没用的，那么也就说明两人的数字都超过了n＝1，k＝2的范围，因此两人的数字至少是n＝1，k＝3 第三轮，两人又一次重复不知道后，这次C的提示相当重要，其内容其实和前两次都完全不同，因为他的描述里把自己也加了进去。C自己的描述对2人的影响，如之前所见，就是增大k的值来改变两人猜测的范围。但是这样无限下去却还是没用，为什么？唯一的可能就是最重要的n＞1，因此怎么猜k和r都是徒劳。因此，C第三次描述结束后，AB不是从n＝1，k＝4开始，而是从n＝2，k＝1开始猜，再从0开始互相猜对方可能的r的值。恰巧，两人的数字都在n＝2，k＝1的范围内，并且r相邻，因此互相猜出了对方的数字
【回复】感谢，总算知道为什么B＜6了