【官方双语】欧拉公式与初等群论

Solara570:
其实这期视频两个月前就翻完惹，为了不让这个频道掉粉太快，所以拖到现在发hhhh 一句话概括：U(1)和SO(2)同构，沿着虚轴向上走π的距离，对应于1绕原点逆时针转过π的角度，所以e^(πi)=-1，tada~！ 这里还有原作者关于指数函数的更多讨论，包括如何用幂级数一步步构建出指数函数，如何把e^x中的自变量x从数推广到矩阵或算子。咱传了一份英文原版到度盘上，有兴趣的可以看看：pan.baidu.com/s/1pKMrkmf （顺便一提，原文有个小错误，看你能不能找到 ^.^） 来这混个脸熟，顺便祝你学习愉快(´･ω･`)

【回复】回复 @大萌神长门有希 :U(1)是一阶酉群，其实就是圆群，可以用一个复数e^(iθ)表示。SO(2)是二阶特殊正交群，其实就是二维旋转群，可以用一个矩阵[[cos(θ), -sin(θ)],[sin(θ), cos(θ)]]表示。二者同构是说这两个群的元之间有一一对应关系，而前面那个e取得恰到好处，使得e^(iθ)作用在一个复数上等价于[[cos(θ), -sin(θ)],[sin(θ), cos(θ)]]作用在由这个复数表示的向量上。我们这里的复数取1，θ取π，所以酉群的元素变成e^(iπ)，二阶旋转群的元素变成负的单位阵，酉群作用的结果是e^(iπ) * 1 = e^(iπ)，二阶旋转群作用的结果是-I * [1, 0] = [-1, 0]，而向量[-1, 0]代表的数恰好就是-1，所以有e^(iπ)=-1。 一套下来，是不是清晰点了？
【回复】回复 @吃芋头的猴子 : 懵逼了所以才要认真看视频，这是套路(°∀°)ﾉ
【回复】233这样的一句话概括会让很多人懵逼的吧哭笑
元英元柯:
也许在你们不会高数的人看来，这个概念很难，但对于我这种会高数的人来说，这个概念我也是看得一脸懵逼。

【回复】回复 @堕落se :吉米多维奇不这么认为。
【回复】欧拉公式学了复变函数好理解一点
一渡边麻友一:
弹幕和评论里这么多半瓶水在使劲晃呢

xml123:
我觉得这期对于为什么把虚数指数解释为旋转就更加自然一些。加法对应平移，乘法对应伸缩，复平面上的平移可以分解为分别沿实轴和虚轴平移的结合，复平面上的伸缩则可以分解为沿着实轴的伸缩和旋转。而指数可以将加法与乘法对应起来，既然实指数对应沿实轴的伸缩，虚指数就对应旋转。整个过程非常自然。

【回复】复平面上的旋转实际上就是实轴和虚轴的同时伸缩变换
【回复】复平面的伸缩和平移我还是不太懂[委屈]
【回复】群论的本质是作用，平面变换只是其中一个应用。如果用复平面理解，确实可以理解一部分几何和代数变换，但是理解狭隘了，不利于以后的深入
NullExist:
发现3b1b甚至numberphile的翻译大佬一直是那几个_(:зゝ∠)_我都快认齐了_(:зゝ∠)_以及两年前那期为什么还在辣鸡柚子木手里。。。 靛蓝字幕组更新啦.jpg 向翻译这种吃力不讨好的视频的dalao们致敬！ （高三犬无力帮忙系列）

【回复】(瘪一棒子打死yzm，那篇还是我校正的呢）
【回复】回复 @NullExist :那一期我也看了，除了句子太长 字幕闪太快，没有啥本质上的问题，放人家一马吧hhhh
【回复】回复 @Solara570 :吗，只能致敬靠兴趣做dalao们。 至于为什么说吃力不讨好吗，看看辣鸡柚子木怎么做的就知道了。
马督H:
真希望这栏目能一直开下去。很多哲学观点都可以用数学思想做更直观的表达，这是我迫切需要的技能。我这非数学专业的人，就靠着这些科普向的数学视频来补救下思维的漏洞。。。。专业的数学书我看不懂(´；ω；`)

【回复】专业数学看不懂大概不是你的问题，很多数学大佬都认为大部分高数教材写的一坨狗屎
【回复】回复 @不太纯粹的理性批判 :同济的高数还是可以的吧，当然大部分高等教材确实是一坨（）
钱子阳-融于大海:
关于为什么是e^z而不是任意指数(复)函数的原因，视频里用速度矢量的证明，我给下我的看法。 思路是构造运动。 原本的目标是虚轴【-pai,pai】的部分，经变换，【无伸缩】地映到单位圆上，(且iπ被映到-1) 核心是(最自然的)无伸缩的映射等价于变换前后(对应点)的(线)速度大小相等。 有两个运动，一是变换前，加子代表的平移运动，z=it，速度大小为1，(方向沿虚轴向上，匀速)； 二是变换后，乘子代表的旋转运动，z=a^it，点在单位圆上运动，(匀速圆周运动)，由求导，知速度大小为lna。 lna=1，故a=e。 又要满足t=0时在点（1,0），即初相位为0，所以视频里说要“满足e^0=1” 如有问题，还请指正~

【回复】最近入手了《复分析可视化方法（Tristan Needharm著 齐民友译）》P8～9 1.2欧拉公式 似乎和up主思路一样😄
qidiaochonglou:
e＾iθ=cosθ+isinθ的证明在此：这个式子叫欧拉公式,e^πi=-1只是该式的θ取π值的特殊情况。在高等数学中的级数部分,会讲到.它的证明是基于泰勒展开 其中 e^x=1+x+x^2/2!+……+x^n/n!+…… 若把ix看成x则 e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+…… 而 cosx=1-x^2/2++x^4/4!+……+(-1)^n*x^(2n)/(2n)!+…… sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)!+…… 比较一下 e^(ix)马上就有e^(ix)=cos(x)+iSin(x)

【回复】实际上这个对于欧拉公式的证明恰好是欧拉为数不多的不严谨的证明，欧拉公式最早就是由他将指数和三角函数的泰勒展开式进行比较而得出来的，而他能进行这样的比较的前提就是直接把泰勒公式中的x全部换成了x*i，但问题是泰勒公式还并没有在复数领域内定义，甚至连虚数次方的指数都没有定义过，就这样把实数范围内的定理往复数上一套是非常不严谨的，而且现代数学里复数范围内的泰勒公式和虚数次方恰好就是由欧拉公式定义的，如果用泰勒公式去证明就相当于是循环论证
【回复】泰勒公式只对实函数成立，这里涉及复变函数理论
【回复】太经典了，书上也是这么说的，但这是循环论证
洗澡上床真一快:
视频末提到为什么是e和微积分的本质，看这篇 https://www.bilibili.com/video/av10538038/ 。[2233娘_耶]

【回复】回复 @洗澡上床真一快 :原来可以直接输AV号Σ( ￣□￣||)
剥夺你一秒:
为什么总有人觉得数学难,因为学校只会教你背公式,答案都是靠背出来,不是算出来的,本质上就是用学语文的方式来学数学

【回复】回复 @鸡小血cxx :我措辞有误,不是"学校"只教背公式,是"很多觉得数学无用的人,都是在背公式"
【回复】回复 @鸡小血cxx :你别告诉我你们学校没人背过公式,然后你问问他们这公式是什么意思,怎么弄出来的,有几个能回答,除非学霸或真正想搞数学的,对于大多数人来说,数学就是背公式,然后把数字代入公式,所以数学对他们来说"没有任何用处"
【回复】正常哪里有学校是按学语文的方式学数学的？ 你去背背答案试试
winemaster:
在 复分析可视化方法 中有欧拉公式推导的内容, 可结合参照效果更佳 快送我上热评让更多人看到:)

piscow:
其实说真的，，，3blue的视频。我听到一半发现后面的一点都听不懂。。。 简单的太简单，复杂的太复杂。。有这感觉

【回复】多看几遍，就懂了，这个视频我也看了三次，才稍微理解了
【回复】回复 @129s :然而。。我是读不懂有关书籍才来看看有没有灵感的，或者突破口
【回复】其实先阅读一下有关的书籍再看就很清晰了
猫之街:
(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)!?这个up是我见过关注他的人平均等级最高的up。

【回复】说明看遍繁华后，人们终被深刻简洁的东西吸引
【回复】回复 @ViggleH:哈哈，都是混迹了很久的大学生之类的吧，缺少数学背景确实很难一个个坚持看下来233，我一个学物理的看的也津津有味（￣▽￣）
【回复】初中在这里学。。。一直学到了高中。。。作为一个萌新( ´_ゝ｀)至今学校都没学到这些，所以把这里当成学校都不为过
FrogAtlas:
这是一个连B都装不了的视频（滑稽），有的小朋友只能在提到复数和线代的时候费劲的憋一句弹幕出来，其他的专业内容只能由专业人员去评论